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자코비안 행렬 예제

반대로 Jacobian 결정인이 한 지점에서 0이 아닌 경우 함수는 이 지점 근처에서 로컬로 반전할 수 있습니다. 야코비안의 개념은 변수 이상의 함수에도 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 고려 및, 야코비안 이것은 엄격한 설명이 아니다, 하지만 여기에 야코비안 매트릭스에 대한 가장 직관적 인 설명 / 동기 부여입니다. 간격으로 시작 $[x_1,x_2] 하위 집합 mathbb{R}$. 이 간격에 대한 공간의 일반적인 측정은 무엇입니까? 길이입니다. $[x_1,x_2]$의 길이를 찾으려면 $x_2-x_1$를 차지합니다. 이제 반전 가능한 선형 변환 $T 정의한다고 가정합니다.mathbb{R} rightarrow mathbb{R}, 여기서 $$T(x)=bmatrix}aend{bmatrix}x,$$$$$$는 $begin{bmatrix}aend{bmatrix}$가 영점이 아닌 항목이 $a 있는 $1times 1$ 행렬입니다. $[x_1,x_2]$에서 $T$의 이미지는 간격 $[ax_1,ax_2]$이며, 이 새 간격의 길이는 $ax_2-ax_1=a(x_2-x_1)$입니다. 이제 우리는 이 질문을 스스로에게 물어봅니다.

새 간격의 길이는 이전 간격의 길이와 어떻게 관련이 있습니까? $[ax_1,ax_2]$의 길이는 $=a|$의 길이의 $[x_1,x_2]$입니다. 그러나 $$=a==왼쪽 =det{bmatrix}aend{bmatrix}오른쪽 |. $$ 이제 양식의 적수를 평가하기 위해 u 대치를 하고 있다고 가정합니다 $$int_{S} f(x) dx.$$ 우리는 $x=x(u)$를 정의하고 차등 $dx$는 $frac{dx}{du$가 됩니다. $mathbb{R}$의 벡터로 $dx$$du$를 볼 경우 $$dx=시작{bmatrix}frac{dx}{du}end{bmatrix}du.$$ $시작{bmatrix}frac{dx}{du}end{bmatrix$의 결정자는 ${du}end{bmatrix}$와 동일한 역할을 $a 무한” 간격 길이입니다. 함수가 한 점에서 차별화되는 경우 해당 차이는 야코비안 행렬에 의해 좌표로 지정됩니다. 그러나 함수는 1차 부분 파생만 존재해야 하므로 Jacobian 행렬을 정의할 수 있도록 분화할 필요가 없습니다. Jacobian은 평형 점에서 미분 방정식 의 시스템을 해석하거나 평형 점 근처의 근사한 해액을 해석하는 데도 사용할 수 있습니다.

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